Krypf’s Diary

暇なときに書く

指数を含んだ複素関数についての考察 〜zのz乗,ガンマ関数と Stirling の近似〜

zのz乗

xを実数として,x^xは1に漸近する.Figure 1 を見ると,複素数でも同様であることが分かる.Donald Knuth 大先生は確かに偉大である.出力したときに「なんか見たことあるな,関数設定まずって違うのが出ちゃったか?」と思ったが,ガンマ関数に似ているので,それが原因だったのだ.

もし5次元空間のプロットができれば, z^wなんかも描けるのかも.

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Fig. 1 z to the z

ガンマ関数と Stirling の近似

ガンマ関数 Γ(z + 1)

ガンマ関数 (Figure 2). \Gamma(z + 1) = z\, \Gamma(z) . きれい.複素関数という感じがしていい.

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Fig. 2 Gamma function

Stirling の近似

こんなん:

 \displaystyle{
n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left( \frac{n}{e} \right)^n.
}

Stirling の近似 (Figure 3).原点が零点になる.大体 Figure 2 と同じだがなんかx軸の負あたりが離散的.

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Fig. 3 Stirling's approximation

近似って面白い.